LÓGICA DE PROPOSICIONES

 

    La lógica de proposiciones es el antecedente histórico del Álgebra de Boole y está basada en la lógica clásica o tradicional. Se explicarán algunos conceptos básicos tendientes a establecer una expresión lógica simbólica a partir de un enunciado.


Elija algún subtema haciendo clic sobre él.

1. Juicio, proposición y sentencia 2. Conectivas Lógicas
3. Tablas de verdad 4. Tautología
5. Traducción de español a Conectivas Lógicas 6. Aplicaciones

7. Ejercicios


1.    JUICIO, PROPOSICIÓN Y SENTENCIA

    La lógica clásica o tradicional, la de inspiración aristotélica, se define como un conjunto de leyes generales del pensamiento, y ésta a su vez, define al juicio como el acto mental por medio del cual pensamos cualesquier enunciados, tales como:

10 + 5 = 15................................................................................................................     (1)
Ramírez es un buen jugador de tenis......................................................... ....     (2)
Juan estudia................................................................................................... .......     (3)

    La proposición se define como una oración declarativa que puede ser verdadera (V,1) o falsa (F,0). Cuando una proposición expresa una sola idea en su forma más simple, se dice que es una proposición simple o atómica. Las proposiciones atómicas son como sigue:

Carlos es un buen deportista.............................................................................     (4)
El padre de Carlos es feliz...................................................................................     (5)

    Ahora bien, si una proposición reúne a más de una proposición simple o atómica, se dice que es una proposición compuesta o molecular. Para formar una proposición compuesta o molecular se hace necesario emplear un elemento de enlace entre las proposiciones simples o atómicas, a los cuales se les denomina conectivas lógicas.


2. CONECTIVAS LÓGICAS

    Se definen básicamente 5 elementos cuyos propósitos son enlazar las proposiciones simples o atómicas:

  1. La CONJUNCIÓN: La conjunción se representa por v y se lee y.

  2. La DISYUNCIÓN: Se divide en disyunción inclusiva que se representa por w y se lee o; o también se lee como uno u otro o ambos. La disyunción exclusiva se representa por ¹  y se lee como O exclusiva, o también como uno u otro pero no ambos.

  3. CONDICIONAL: Se representa por medio de una flecha 6  y se lee si.....entonces.....
  4. BICONDICIONAL: Se representa por º o ø  (relación de equivalencia) y se lee .....si y sólo si....., o también como condición necesaria y suficiente.

  5. NEGACIÓN: Se lee como no, es falso que, no es verdad que; y hay muchas formas de representarlo (', $ ,...)

      Ahora, estamos en posibilidad de formar proposiciones moleculares. Podemos utilizar los enunciados del (1) al (5):

10+5 = 15 y Ramírez es un buen jugador de tenis                                                    (1)
10+5 = 15 o Juan estudia                                                                                                (2)
si Carlos es un buen deportista entonces el padre de Juan es feliz                    (3)
El padre de Carlos es feliz si y sólo si Carlos es un buen deportista                  (4)
Es falso que el padre de Juan es feliz                                                                          (5)

    Como se observa en los ejemplos del (1) al (5), para trabajar con la lógica de proposiciones, resulta difícil manejar éstos como elementos de una nueva álgebra, motivo por el cual se tratan de simbolizar estas proposiciones. A esta simbolización se les denomina sentencias, por éstas se entiende como una serie de signos por medio de los cuales se expresan proposiciones.

    Las sentencias se simbolizan mediante letras, llamadas letras sentenciales, las cuales pueden ser: p, q, r, s, t,..., en donde cada letra sentencial representa un enunciado declarativo (una proposición).


EJEMPLOS

1.    p = (10+5=15)
      
q = Ramírez es un buen jugador de tenis

            p v q


2.     r = Juan estudia

            p w r


3.     s = Carlos es un buen deportista
       
t = el padre de Carlos es feliz

            s 6 t


4.          t  º s  o  t ø s


5.          t'


3. TABLAS DE VERDAD

    Hasta ahora nos hemos referido a las letras y esquemas sentenciales sin tener en cuenta si eran verdaderas o falsas. Un principio que establecer es este:

P1. Todo enunciado es verdadero o falso

    Este principio significa que a todo enunciado se le puede asignar uno de los siguientes predicados: verdadero o falso, y lo simbolizaremos con las letras V o F, respectivamente.

    Otro principio es:

P2. Los valores de verdad de cualquier fórmula  molecular (esquema sentencial) están determinados por los valores de verdad de las fórmulas componentes

    Con la ayuda de estos principios se pueden formar las llamadas TABLAS DE VERDAD, las cuales se usan para determinar de un modo sistemático la verdad o falsedad de las fórmulas.


    Comenzaremos con las tablas de verdad correspondientes a las conectivas lógicas presentadas anteriormente.

1.     La tabla de verdad para una sola letra sentencial es:

p
F
V

Lo cual indica que dada una letra sentencial hay para ella 2 posibilidades, una que sea verdadera y otra que sea falsa.


2.    La tabla de verdad para 2 letras sentenciales es:

p q
F
F

V
V
F
V
F
V

Lo cual indica que dadas 2 letras sentenciales hay para ellas 22 posibles combinaciones y en general para n letras, hay 2n combinaciones.


3.    La tabla de verdad para p v q es:

p q p v q
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V

Lo cual indica que la conjunción de p y q es verdadera si y sólo si p y q son verdaderas, de otra manera p v q es falsa.


4.    La tabla de verdad para p w q es:

p q p w q
F
F

V
V
F
V
F
V
F
V
V

V

Lo cual indica que la disyunción de p o q será verdadera si y sólo si p o q o ambas son verdaderas. De otra manera p w q es falsa.


5.     La tabla de verdad para la disyunción exclusiva es:

p q p r q
F
F

V
V
F
V
F
V
F
V
V

F

Lo cual indica que la disyunción de p r q será verdadera si y sólo si p o q son verdaderas, pero no ambas.


6.    La tabla de verdad de p 6 q es:

p q p 6 q
F
F

V
V
F
V
F
V
V
V

F
V

Sólo en este caso, a la letra sentencial p se le denomina antecedente y a la letra sentencial q se le denomina consecuente.

Por tanto, la tabla de verdad para p 6 q establece que solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, la fórmula será falsa y en todos los demás casos es verdadera.


7.     La tabla de verdad para  p  º q   o  p ø q es:

p q p  º q
F
F

V
V
F
V
F
V
V
F
F

V

Lo cual indica que la bicondicional p  º q será verdadera si y sólo si ambas componentes tienen el mismo valor de verdad.

Obsérvese que las tablas de verdad 5 y 7 se complementan entre sí; por tal razón se utiliza para la bicondicional el símbolo de la relación de equivalencia º y para la disyunción exclusiva ¹, esto es porque una es el complemento de la otra.


8.    La tabla de verdad para no p (p')es:

p p'
F
V
V
F

Lo cual indica que cuando una fórmula es verdadera, su negación es falsa y viceversa.


        Las tablas de verdad, como se mencionó anteriormente, se construyen para comprobar metódicamente el valor de verdad de las fórmulas o para verificar la relación de equivalencia (igualdad) de las fórmulas.

    A continuación se presentan algunos ejemplos:

1.    Demostrar que p 6 q = p' w q

SOLUCIÓN

p p' q p 6 q p' w q  
F
F

V
V
V
V

F
F
F
V
F
V
V
V

F
V
V
V

F
V
  ^ ^ SON IGUALES

2.    Demostrar que (p º q) = (p 6 q) v (q 6 p)

SOLUCIÓN

p q (p º q) (p 6 q) v (q 6 p)  
F
F

V
V
F
V
F
V
V
F
F

V
V
V

F
V
V
F
F

V
V
F
V
V
 
    ^   ^   SE VERIFICA

3.    Dada la siguiente fórmula, determine sus valores de verdad:

            [(p v q) 6 p]'

SOLUCIÓN

p q [(p v q) 6 p] '
F
F

V
V
F
V
F
V

F
F

F
V

V
V

V
V
  F
F

F
F

4.    Dada la fórmula siguiente, determinar sus valores de verdad:

       [(p 6 q) v (q 6 r)] 6 (p 6 r)

SOLUCIÓN

p q r [(p 6 q) v (q 6 r)] 6 (p 6 r)
F
F
F
F

V
V
V
V
F
F

V
V

F
F

V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V

F
F

V
V
V
V

F
V
F
F

F
V
V
V

F
V
V
V

F
V
V
V
V
V

V
V
V
V
V
V
V
V

F
V
F
V

4. TAUTOLOGÍA

    Se puede observar que al construir las tablas de verdad en los ejemplos anteriores, se presentaron tres casos:

1.    La tabla de verdad de la fórmula dada contenía tantos verdaderos (V) como falsos (F)

2.    La tabla de verdad de la fórmula dada contenía sólo falsos (F)

3.    La tabla de verdad de la fórmula dada contenía sólo verdaderos (V)

    La fórmula del primer tipo se denomina indeterminada. Las fórmulas del segundo tipo se denominan contradicciones y las del tercer tipo se denominan tautologías o fórmulas sentencialmente válidas.

  1. IDENTIDAD:                        p 6 p ; p º p
  2. CONTRADICCIÓN:             [p v (p')]'
  3. TERCERO EXCLUIDO:      [p w (p')]

   Lo cierto es que en esta parte, la tautología se usará para determinar la validez de un argumento.

        Un argumento es un enunciado en el cual, de un conjunto de premisas (A, B, C, D,..., etc.), se obtiene una premisa llamada conclusión Q. Cada premisa puede estar formada por una o más proposiciones.

    Luego entonces, se dice que un argumento es válido si la tabla de verdad formada de la siguiente manera:

(A v B v C v D ...) 6 Q; es una tautología


EJEMPLOS

        Encontrar si los argumentos siguientes son o no válidos:

1.     Si Marta fue al cine entonces Miguel fue al cine.
       
Miguel fue al cine.
        Por tanto,
Marta fue al cine.

SOLUCIÓN

     Determinamos cada una de las premisas, así como también la conclusión.

A = Si Marta fue al cine entonces Miguel fue al cine
B = Miguel fue al cine
Q = Marta fue al cine

     Pero como se dijo anteriormente, cada premisa puede estar formada por una o más proposiciones, por lo que se da el caso que la premisa A puede representarse sentencialmente de la siguiente manera:

p = Marta fue al cine
q = Miguel fue al cine

     Por tanto:

A = p 6 q
B = q
Q = p

     La fórmula queda:

[(p 6 q) v q] 6 p

     Si la tabla de verdad resulta una tautología, el argumento será válido.

Tabla de verdad
p q [(p 6 q) v q] 6 p
F
F

V
V
F
V
F
V
V
V

F
V
F
V
F
V
  V
F
V
V
 

     Como se observa de la tabla de verdad, el argumento no es válido, porque no se obtuvo una tautología.


2.    Al ejemplo anterior solamente se cambiará el orden de alguna de las premisas.

A = Si Marta fue al cine entonces Miguel fue al cine
B = Marta fue al cine
Q = Miguel fue al cine

SOLUCIÓN

     A = p 6 q
    
B = p
    
Q = q

     Por lo tanto, el argumento queda expresado como:

[(p 6 q) v p] 6 q

Tabla de verdad
p q [(p 6 q) v p] 6 q
F
F

V
V
F
V
F
V
V
V

F
V
F
F

F
V
  V
V

V
V
 

     El resultado obtenido es una tautología, y por tanto, el argumento es válido.


5.    TRADUCCIÓN DE ESPAÑOL A CONECTIVAS LÓGICAS

    Como se verá posteriormente, una de las partes más difíciles del diseño lógico, consiste en pasar del enunciado verbal del problema a una tabla funcional o a una expresión lógica. Para ayudar un poco con este problema, a continuación se presenta una tabla que contiene algunas de las conjunciones españolas más usadas y su traducción lógica.

CONECTIVA LÓGICA TRADUCCIÓN LÓGICA
1.   No p
2.   p y q
3.   p o (inclusiva) q     p o q o ambas
4.   p o (exclusiva) q    p o q pero no ambas
5.   p o q
6.   p aunque q
7.   p a condición de que q
8.   p si q
9.   si p entonces q
10. p implica q
11. p siempre y cuando q
12. p tanto como q
13. p si y sólo si q
14. no ambas p y q
15. es falso que p y q
16. no es cierto que p o q
17. ni p ni q
18. cuando p entonces q
19. p a no ser que q
20. p a condición necesaria y suficiente que q
21. A a menos que B
1.   p'
2.   p v q
3.   p w q
4.   p
¹ q          (p v q') w (p' v q)
5.   p w q
6.   p v q
7.   q 6 p            q' w p
8.   q 6 p            q' w p
9.   p 6 q            p' w q
10. p 6 q            p' w q
11. q 6 p            q' w p
12. p v q
13. p
º q          (p v q) w (p' v q')
14. (p v q)'        p' w q'
15. (p v q)'        p' w q'
16. (p w q)'        p' v q'
17. p' v q'       (p w q)'
18. p 6 q            p' w q
19. q' 6 p           q w p
20. p
º q         (p v q) w (p' v q')
21. B' 6 A          B w A

6.    APLICACIONES

    En esta sección se tratan de resolver algunos ejemplos en donde se aplican los conceptos vistos en esta unidad.

1.    Como se mencionó en la sección 5, uno de los problemas más difíciles es pasar del enunciado a una tabla funcional y posteriormente encontrar los dispositivos adecuados para la realización física del problema expuesto. Uno de esos dispositivos son los sistemas de relevadores y contactores. A continuación se muestra la instrumentación de cada una de las conectivas con estos dispositivos.

1.1    NEGACIÓN

negacion.gif (3186 bytes)

 

p p'
F
V
V
F

 

 


1.2    CONJUNCIÓN

negacion.gif (3186 bytes)

 

p q p v q
F
F

V
V
F
V
F
V
F
F
F

V

 


1.3    DISYUNCIÓN INCLUSIVA

negacion.gif (3186 bytes)

 

p q p w q
F
F

V
V
F
V
F
V
F
V
V
V

 


1.4    DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

negacion.gif (3186 bytes)

 

p q p ¹ q
F
F

V
V
F
V
F
V
F
V
V
F

 


1.5    CONDICIONAL

negacion.gif (3186 bytes)

 

p q p 6 q
F
F

V
V
F
V
F
V
V
V
F
V

 


1.6    BICONDICIONAL

negacion.gif (3186 bytes)

 

p q p º q
F
F

V
V
F
V
F
V
V
F
F

V

 

 


2.    Condiciones que deben reunirse para que sea posible fumar. Por una parte deben tenerse cerillos o encendedor, por otra parte, cigarrillos o una pipa y tabaco, pero no se debe estar en presencia de una atmósfera explosiva.

SOLUCIÓN

    Lo primero que hay que hacer es determinar las variables:

F = Posibilidad de fumar
C = Cerillos
E = Encendedor
B = Cigarros
P = Pipa
T = Tabaco
A =
Atmósfera explosiva

Una vez determinadas las variables, hay que identificar las conectivas lógicas que enlazan a cada una de las variables (proposiciones atómicas) y formar la expresión lógica.

F = {(C w E) v [B w (P v T)]}  v A'


negacion.gif (3186 bytes)3.    Determine la expresión lógica que describe el siguiente problema:

    El flujo de agua que llega a una solución de salmuera que se emplea en un proceso químico, se cortará solamente si:

    a)    El tanque está lleno
    b)    La
salida del tanque no se cierra, la concentración de sal no exceda al 2.5% y el nivel del agua no esté por debajo de un cierto nivel mínimo especificado

 

SOLUCIÓN

    Determinación de las variables:

    Q = Flujo de agua
   
T = Tanque lleno
   
S = Salida del tanque
   
C = Concentración de sal no exceda el 2%
   N = Nivel mínimo de agua especificado

    La expresión lógica es:

Q' = T w (S' v C v N')


4.    En un banco, un sistema de alarma contra robo funcionará sólo si se activa el conmutador maestro en la estación de policía. De acuerdo a esta condición, la alarma sonará si la puerta de la bóveda es perturbada en cualquier forma, o si la puerta del banco se abre, a menos que primero se opere un interruptor especial, utilizando la llave del velador. La puerta de la bóveda está equipada con un sensor de vibración que hará que se cierre un interruptor cuando se perturbe dicha puerta, y se montará dicho interruptor sobre la puerta del banco, de tal manera que se cerrará siempre que la puerta del banco se abra.

SOLUCIÓN

    Determinación de las variables:

    I = Conmutador maestro de la policía activado
   
P = Puerta de bóveda perturbada
   
B =
Puerta del banco abierta
   
V = Interruptor
general especial operado por el velador
   
A = Alarma sonará

    La expresión queda:

A = I v [P w (B v V)]


5.    Considerando que se tienen dos letras sentenciales (variables), determinar:

a)    El número de combinaciones
b)    El número de resultados (funciones) de estas combinaciones
c)    Por medio de la construcción de una tabla, identificar cada función de acuerdo a las conectivas y tablas de verdad vistas anteriormente.

SOLUCIÓN

a)    Número de combinaciones igual a 2n

                  Si n = 2, entonces: No. de combinaciones = 4

Tabla funcional
p q f
F
F

V
V
F
V
F
V
?

b)    Número de funciones es igual a (22)n

                  Si n = 2, entonces: No. de funciones = (22)2 = 16

c)    De a) y b), se obtiene la siguiente tabla:

negacion.gif (3186 bytes)

De la tabla se observa que únicamente f5 y f12 son funciones no conocidas, pero identificando a cualquiera de ellas, automáticamente se identifica la otra, ya que son complementarias entre si.

Si aislamos f5 y f12:

p q f5 f12 p' v q (p' v q)'
F
F

V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V

Por tanto:

f5 = p' v q        y         f12 = (p' v q)' = p w q'

La pregunta obligada podría ser ¿cómo se obtuvo tal resultado? En realidad es muy fácil utilizando conceptos que se verán en minimización de funciones de conmutación, de otra manera tendría que utilizarse el método de prueba y error.


6.     Determinar la expresión lógica que representa el siguiente problema:

El contrato para la adquisición de la póliza #22, podría extenderse si el solicitante cumple las condiciones:

1.    Se le ha extendido la póliza #19 y es casado de sexo masculino, o
2.    Se le ha extendido la póliza #19 y es casado de menos de 25 años, o
3.    No se ha extendido la póliza #19 y es casada de sexo femenino, o
4.    Es de sexo masculino menor de 25 años, o
5.    Es casado de 25 años o mayor.

SOLUCIÓN

Como en los ejemplos anteriores, hay que determinar las variables y los elementos de enlace:

DEl solicitante tiene derecho a la póliza #22
PPóliza #19
CCasado
M
Sexo masculino
E =  Menor de 25 años

De acuerdo con las cinco condiciones, se tiene:

1.   P v C v M
2.
   P v C v E
3.   P' v C v M'
4.   M v E
5.   C v E'

Finalmente:

D = (P v C v M) w (P v C v E) w (P' v C v M') w (M v E) w (C v E')


7.    EJERCICIOS

1. Escriba cada uno de los siguientes postulados de manera simbólica, usando a p y q definidos como:

p = es rico
q = es feliz

a) Si es rico entonces no es feliz
b) No se es feliz cuando se es rico
c) Es pobre solamente si es feliz
d) Ser rico significa lo mismo que ser feliz
e) Él es pobre o es rico y feliz


2. Escribir la negación de cada uno de los siguientes enunciados en una frase tan sencilla como sea posible:

a) María habla español o francés si y sólo si habla italiano
b) Si Juan lee el Heraldo entonces no lee la Prensa ni el Excélsior
c) Si Marcos es rico entonces tanto Enrique como Aurora son felices
d) Si cae nieve entonces no conduce el automóvil


3. Construya la tabla de verdad de cada proposición:

a) (p º q'6 (p' v q)
b) [q º (r 6 p')] w [(q' 6 pº r]
c) (p v q6 r = (p 6 rw (q 6 r)


4. Comprobar la validez de cada uno de los siguientes argumentos:

a) Si Lourdes no está en Dinamarca entonces París no está en Francia
    
Pero París está en Francia
     Por lo tanto,
Lourdes está en Dinamarca

b) El gobernador de California proviene ya sea de Los Angeles o de San Francisco
    
El Sr. Jones no viene de San Francisco
     De donde,
si el Sr. Jones no es de Los Angeles entonces el Sr. Jones no es gobernador de California

c) Si Harvard gana el campeonato de la liga de fútbol entonces Princenton será segundo
   
Si Princenton es segundo entonces Darmounth no terminará entre los cuatro primeros equipos
    De donde,
Princenton no tendrá el segundo lugar


5. Determine la expresión lógica que describa el siguiente problema:

En muchos automóviles, la alarma del cinturón de seguridad se usa también para indicar que se están dejando las llaves en el contacto o dejando las luces encendidas, cuando está desocupado. La siguiente proposición describe la forma en que puede funcionar dicho sistema:

La alarma suena si la llave está en el contacto, cuando la puerta está abierta y el motor no está funcionando; o si las luces están encendidas cuando la llave no está en el contacto, o si el cinturón de seguridad del conductor no está ajustado cuando el motor está funcionando; o si el asiento del pasajero está ocupado y su cinturón de seguridad no está ajustado.


6. Un fabricante de indicadores luminosos y de controles para detectar equipos en mal funcionamiento, necesita diseñar un sistema indicador para cápsulas espaciales.

El programa espacial ha tenido problemas con el funcionamiento de la escotilla. Hay tres tipos de control para las escotillas: El sistema principal, el de emergencia y el manual. Los dos primeros son automáticos y el tercero es manual.

Determine una expresión lógica que represente el sistema óptimo de control de luces que indique las fallas de ambos sistemas automáticos si el astronauta está fuera de la cápsula, falla de los tres sistemas cuando el astronauta está dentro de la cápsula o falla de dos de los tres sistemas cuando el astronauta está afuera.


7. Una empresa está interesada en contratar cuatro tipos de profesionistas:

1. Mujeres, no ingenieras, con un promedio de calificaciones mayor o igual a 3.0 (4.0 equivale a una calificación de A).
2. Hombres, ingenieros, con un promedio de calificaciones mayor o igual a 2.5.
3. Hombres, no ingenieros, con un promedio de calificaciones mayor o igual a 3.0.
4. Mujeres, ingenieras, con un promedio de calificaciones mayor o igual a 3.0.

Considerando que M representa que el profesionista es hombre, E que es ingeniero, y que el promedio de calificaciones es mayor o igual a 3.0 y Z que el promedio de calificaciones es mayor o igual a 2.5, determine una expresión de conmutación que describa las calificaciones necesarias que un candidato deba reunir para poder contratarse.